Klurigheter

"Det er vanskeligt at spaa, især naar det gælder Fremtiden", lär det vid något tillfälle klokt och fyndigt ha sagts i danska Folketinget. Men det är faktiskt under vissa omständigheter fullt möjligt att göra förutsägelser som med stor sannolikhet slår in.

Du kommer till busshållplatsen och får veta att bussen gick för tio minuter sedan. Är det möjligt att utifrån denna enda upplysning göra en rimlig förutsägelse om när nästa buss ska gå?

Beger du dig helt slumpmässigt till hållplatsen kommer du i medeltal mitt emellan två avgångar. Dela nu in (det okända) tidsintervallet mellan de två avgångarna i exempelvis fyra lika delar. Sannolikheten för att du anlänt vid någon tidpunkt under de två mellersta fjärdedelarna, eller med andra ord att du inte anlänt under den första fjärdedelen eller under den sista fjärdedelen, är 2/4, det vill säga 50%. Det ena ytterlighetsfallet är att du råkat anlända alldeles i början av den andra fjärdedelen. De tio minuter som gått sedan bussen gick utgör då första fjärdedelen av tidsintervallet, och du har tre fjärdedelar av tidsintervallet kvar att vänta på nästa buss, tre gånger så lång tid eller en halvtimma. Det andra ytterlighetsfallet är att du råkat anlända alldeles i slutet av den tredje fjärdedelen. De tio minuter som gått sedan bussen gick utgör då de tre första fjärdedelarna av tidsintervallet, och du har en fjärdedel kvar att vänta på nästa buss, en tredjedel så lång tid eller tre minuter och tjugu sekunder. Och följaktligen kan du med 50% säkerhet förutsäga att det dröjer minst tre minuter och tjugu sekunder och högst en halvtimma till nästa buss. Annorlunda uttryckt: förutsägelsen att det dröjer minst tre minuter och tjugu sekunder men högst en halvtimma till nästa buss har lika stor chans att slå in som att inte slå in.

Detta förefaller kanske inte så imponerande; förutsägelser som har lika stor chans att slå in som att inte slå in upplever de flesta av oss nog som skäligen meningslösa. För att en förutsägelse ska vara värd någon uppmärksamhet bör den ha väsentligt större chans att slå in än att inte slå in. Ett bra och ofta förekommande riktmärke är 95% säkerhet: chansen att förutsägelsen slår in är då nitton gånger större än att den inte slår in, vilket de flesta nog upplever som en betryggande marginal.

För att erhålla denna marginal vad bussförutsägelsen beträffar delar du i stället in (det fortfarande okända) tidsintervallet mellan de två avgångarna i fyrtio lika delar. Sannolikheten för att du anlänt vid någon tidpunkt under de trettioåtta mellersta fyrtiondedelarna, eller med andra ord att du inte anlänt under den första fyrtiondedelen eller den sista fyrtiondedelen, är 38/40, det vill säga 95%. Det ena ytterlighetsfallet är att du råkat anlända alldeles i början av den andra fyrtiondedelen. De tio minuter som gått sedan bussen gick utgör då första fyrtiondedelen av tidsintervallet, och du har trettionio fyrtiondedelar av tidsintervallet kvar att vänta på nästa buss, trettionio gånger så lång tid eller sex och en halv timmar. Det andra ytterlighetsfallet är att du råkat anlända alldeles i slutet av den trettionionde fyrtiondedelen. Den tid som gått sedan bussen gick utgör då de första trettionio fyrtiondedelarna av tidsintervallet, och du har en fyrtiondedel kvar att att vänta på nästa buss, en trettioniondedel så lång tid eller litet drygt 15 sekunder. Följaktligen kan du med 95% säkerhet förutsäga att det dröjer minst (litet drygt) 15 sekunder och högst sex och en halv timmar till nästa buss. Annorlunda uttryckt: förutsägelsen att det dröjer minst (litet drygt) 15 sekunder men högst sex och en halv timmar till nästa buss har nitton gånger större chans att slå in än att inte slå in.

Inte heller detta förefaller kanske så imponerande; förutsägelser som är så svepande upplever de flesta av oss nog också som skäligen meningslösa. Dessutom är det ingen större ansträngning att slå upp avgångarna i lämplig busstidtabell och sedan se till att vara vid busshållplatsen i tid, vilket gör förutsägelser om väntetider mindre intressanta.

Men resonemanget ovan äger en mycket vidare tillämpning. "De trettionio stegen" (för att anspela på titeln på en utmärkt bok och film) styr de mest skiftande öden. Människosläktet, arten Homo sapiens sapiens, har existerat här på jorden i några hundratusen år. Om det inte är något särskilt med den tid vi lever i just nu (och det finns det ingen anledning att tro att det är), kan vi med 95% säkerhet förutsäga att människan kommer att överleva en tid som är minst en trettioniondedel så lång, säg tiotusen år, och högst trettionio gånger så lång, säg tio miljoner år; med 95% säkerhet kommer vår art att äga bestånd mellan några hundratusen år och tio miljoner år. (Vi kan försumma tiotusen år, den minimala förväntade framtiden, i jämförelse med människosläktets nuvarande ålder, några hundratusen år, lika väl som vi kan försumma samma nuvarande ålder i jämförelse med tio miljoner år, den maximala förväntade framtiden.) Och en sådan förutsagd varaktighet stämmer väl med den ur fossiler observerade typiska varaktigheten för däggdjursarter, mellan en och tio miljoner år.

Maskiner som fungerat länge har med stor säkerhet fortsatt lång livstid; vill du vara till 95% säker på att en farkost klarar en resa till, nämligen den resa du själv följer med på, bör du försäkra dig om att den redan klarat minst 39 resor. Med den tumregeln undviker du att förlisa med en Titanic (jungfruturen), explodera med en Challenger (tionde turen) eller brinna upp med en Hindenburg (trettiofemte turen).

Institutionen för teoretisk fysik grundades 1878 (i så måtto att en e. o. professur i mekanik och matematisk fysik då inrättades). Om det inte är något särskilt med det tillfälle när du i år, 133 år senare, läser detta, kan du alltså med 95% säkerhet förutsäga, att institutionen kommer att överleva i ytterligare minst 133/39 år, det vill säga (litet knappt) tre och ett halvt år, och högst 39 gånger 139 år, eller 5 187 år. Det är en förutsägelse ingen av oss skulle våga göra om någon annan institution.

Not: Resonemanget ovan bygger på (det möjligen inte helt realistiska) antagandet att livstider och motsvarande är fördelade som inversa livstiden, det vill säga att sannolikheten för en given livstid är omvänt proportionell mot livstiden.